偶尔在一个数学题里面看到求两向量所在平面的法线，常规方法可以通过法线与两向量垂直这一特点，列两个方程求解；另外一种方法可以通过求解两个向量的叉积，用矩阵行列式 (determinant) 的方式，之前还没见过，在这篇博客里记录下。
两个向量的叉积（cross product），又称作外积，表达式为：
a × b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\|a\|\|b\|\sin\theta a×b=∥a∥∥b∥sinθ
它的几何意义就是这两个向量所在平面的法线，其中 θ \theta θ 为两向量的夹角，法线的长度为这两个向量形成的平行四边形的面积。（两个向量点积的表达式为： a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|a\|\|b\|\cos\theta a⋅b=∥a∥∥b∥cosθ ）
具体在求解上，求解矩阵行列式非常方便，假如为三维向量，
a
×
b
=
∣
i
j
k
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
∣
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
i
+
(
a
3
b
1
−
a
1
b
3
)
k
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
k
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} i&j&k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ \end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)k+(a_1b_2-a_2b_1)k
a×b=
ia1b1ja2b2ka3b3
=(a2b3−a3b2)i+(a3b1−a1b3)k+(a1b2−a2b1)k
其中， i , j , k i,j,k i,j,k 为叉积所在坐标系各个坐标轴的单位向量。因此，根据上面的计算，叉积向量可以表示为：
( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) \big(a_2b_3-a_3b_2,~~ a_3b_1-a_1b_3, ~~a_1b_2-a_2b_1\big) (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)
为什么可以这样求？这跟叉积，点积以及行列式，余子式的几何意义有关。（其实有点复杂）
∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ i + ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ j + ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ k (1) \begin{vmatrix} i&j&k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}i+\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}k\tag{1} ia1b1ja2b2ka3b3 = a2b2a3b3 i+ a1b1a3b3 j+ a1b1a2b2 k(1)
- 三个向量组成的平行多面体有一个体积公式
V = ∣ c ⋅ ( a × b ) ∣ V=|\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})| V=∣c⋅(a×b)∣
将向量 c \mathbf{c} c 看成 ( i , j , k ) (i,j,k) (i,j,k)，
而叉积向量 a × b \mathbf{a}\times \mathbf{b} a×b 看成 ( ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ , ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ , ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ) (\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},~~\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix},~~\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}) ( a2b2a3b3 , a1b1a3b3 , a1b1a2b2 ), 可以得到公式 （1），因此可以使用行列式来计算叉积！
